ریاضیات مهندسی

به نام خداوندگار قلم

با سلام خدمت تمامی دوستان،

با سوالات ریاضی مهندسی شروع می کنیم و از تمامی دوستان می خواهیم که در این زمینه ما را یاری کنند:

توجه:

اگر دوستان سوالات رو با کیفیت بهتر دارن برامون ارسال کنن (با تشکر از آقای طباطبایی)

حل این سوالات ممکن است دارای اشکال باشد که شما می توانید نظرات خود را در همین پست اعلام کنید.

به مرور درس های بعدی هم حل خواهیم کرد.

---

---

---

---

---

ریاضیات مهندسی - کنکور کارشناسی ارشد کامپیوتر - سال 88 

31. سری فوریه سینوسی دوگانه تابع f(x,y)  در دامنه های 0 و 0 عبارت است

∑n=1..∞∑m=1..∞[bm,n sin(nπx/L)sin(mπx/K)

سری فوریه دوگانه تابع f(x,y)=xy  برای 0<π  و 0<π کدام است؟

1. ∑n=1..∞∑m=1..∞[(4/nm)sin(nx)sin(my)]

2. ∑n=1..∞∑m=1..∞[(4nm/π^2)sin(nx)sin(my)]

3. ∑n=1..∞∑m=1..∞[(4(π^2)/nm)sin(nx)sin(my)]

4. ∑n=1..∞∑m=1..∞[(nm/4)sin(nx)sin(my)]

جواب :؟

---

32. کدامیک از معادلات دیفرانسیل زیر را می توان با روش جداسازی متغییرها حل کرد؟

I. ∂^2 y /∂ t^2 = 9 ∂^2  y/ ∂ x^2 + 4x

II. ∂ u / ∂ t = a^2 [(∂^2 u / ∂ r^2) + (1/r)(∂ u/∂ r)]

1.    هردو معادله قابل حل هستند.

2.    هیچکدام قابل حل نسیتند.

3.    معادله I قابل حل نیست ولی II قابل حل است.

4.    معادله II قابل حل نیست ولی I قابل حل است.

جواب: گزینه 3

معادله I را به دلیل وجود ترم 4x  به هیچ صورت نمی توان جداسازی کرد اما برای معادله II می توان نوشت:

U(t,r)=A(t)B(r)

∂ u / ∂ t = a^2 [(∂^2 u / ∂ r^2) + (1/r)(∂ u/∂ r)]

= A'(t)B(r)=a^2[ A(t)B''(r) +

(1/r)A(t)B'(r)]

= A'(t)B(r)= a^2.A(t)[B''(r) + (1/r) B'(r)]

= A'(t)/A(t)= (a^2[B''(r) + (1/r) B'(r)]) / B(r)

---

33. معادله گرما بصورت زیر:

II. ∂ u / ∂ t = a^2 [(∂^2 u / ∂ x^2)] ;  0<π , t>0

با شرایط : u(x,0) = f(x)  ، ux(π,t) = 0  و ux(0,t) = 0 را در نظر می گیریم. شکل کلی جواب U(x,t)  عبارت است از(An , En ضرایبی ثابت اند):

1) ∑n=1..∞ [ En.e^( -a^2.n^2.t).sin(nx)

2)  (A0 / 2) + ∑n=1..∞ [ En.e^( -a^2.n^2.t).cos(nx)

3)  ∑n=1..∞ [ En.e^( -a^2.n^(2.t)).sin(nπx)

4)  (A0 / 2) +∑n=1..∞ [ En.e^( -a^2.n^2.t).cos(nπx)

جواب : گزینه 2

همانطور که مقادیر مرزی نشان میدهند مشتق تابع در نقاط مرزی صفر است، پس تابع باید شامل جملات Cos(X) باشد تا مشتق آن در نقاط صفر و π، صفر گردد، در نتیجه گزینه 1و 3 را رد می کنیم.

مشتق تابع نسبت به زمان باید a^2 برابر مشتق دوم تابع نسبت به مکان باشد پس درگزینه 2 داریم:

∂ u / ∂ t = (-a^2.n^2). ∑n=1..∞ [ En.e^( -a^2.n^2.t).cos(nx)]

و

(∂^2 u / ∂ x^2) = (-n^2). ∑n=1..∞ [ En.e^(-a^2.n^2.t).cos(nx)]

اما در گزینه 4 داریم :

(∂^2 u / ∂ x^2) = (-π^2.n^2). ∑n=1..∞ [ En.e^(-a^2.n^2.t).cos(nπx)]

که ضریب π^2 اضافی است .

---

34. خط y = x/2  از صفحه ی مختلط z (z = x + iy) تحت نگاشت w = 1/z به کدام منحنی در صفحه ی

w (w = u + iv) تبدیل می شود:

1) v= -2u

2) v= +1/2 u

3) v= +2u

4) V = -1/2 u

جواب : گزینه 4

W = u + iv = 1/( x + iy) = z

اگر طرفین دوم را در مزدوج z (x – iy) ضرب و تقسیم  کنیم داریم :

U+ iv = (x – iy) / ( x^2 + y^2)

U= x / (x^2 + y^2)  ,  V= -y / (x^2 + y^2)

Y = x/2 à v.( x^2 + y^2) = (- u. (x^2 + y^2)) / 2 à v = -1/2 u

---

35. پاسخ انتگرال مختلط

⌠c ( 2z+1) / (Z^3 – iz^2 + 6z)dz

کدام است؟( منحنی c دایره ای است به شعاع 1/3 و به مرکز 3i)

1)   صفر

2)   2πi

3)   (π/15)( 12 – 2i)

4)   (π/15)(12+2i)

جواب: گزینه 3

Z^3 – iz^2 + 6z = z ( Z^2 – iz + 6) = z(z-3i)(z+2i)

نقاط تکین تابع

Z = 0  ، قطب مرتبه 1، که درون ناحیه C نیست.

 Z = -2i،قطب مرتبه 1، که باز هم درون ناحیه نیست.

 Z = 3i ، قطب مرتبه 1 ، که درون ناحیه C است پس مانده تابع را در این نقطه حساب می کنیم که  طبق قضیه داریم :

P(x) / Q'(x) = (2z+1) / ( 3.z^2 – 2.i.z + 6) = (2(3i) + 1)/(3(3i)^2 – 2i(3i) + 6) = (6i + 1)/( -27 + 6 + 6) = (6i + 1)/(-15)

و در نهایت با ضرب مانده تابه در 2πi داریم :

2πi . ( 6i +1) / -15 = (π/15)( 12 – 2i)